Tatjana Vassiljeva wurde in Novosibirsk (Russland) geboren und begann das Cellostudium im Alter von sechs Jahren bei Eugenij Nilov an der Special Music School. Nachdem sie 1994 den zweiten Preis beim Internationalen Musikwettbewerb der ARD in München gewonnen hatte, zog sie dorthin, um an der Musikhochschule bei Walter Nothas zu studieren. Nach dem Abschluss mit Auszeichnung begab sich Tatjana Vassiljeva an die Hochschule für Musik "Hanns Eisler" in Berlin, um dort ihre Ausbildung bei David Geringas zu beenden.
Das musikalische „Phänomen” Tatjana Vassiljeva zeichnet sich durch perfekte Technik und eine unglaubliche Klangfülle aus. Tatjana Vassiljevas einzigartige Virtuosität wird nur noch von ihrer musikalischen Persönlichkeit und ihren Ideen übertroffen, die sie wunderbar zum Ausdruck bringen kann. Ihre angeborene musikalische Neugier spiegelt sich im breit gefächerten Repertoire wieder, das den Bogen vom Barock bis zur zeitgenössischen Musik spannt und auch mehrere Uraufführungen beinhaltet.
Tatjana Vassiljeva begann ihre europäische Konzertkarriere bereits im Alter von zwölf Jahren. Im Oktober 2001 gewann sie den „First Grand Prix de la Ville de Paris” beim 7. Internationalen Rostropovitch-Wettbewerb in Paris, und 2005 wurde sie anlässlich der französischen „Victoires de la Musique Classique” als „internationale Neuentdeckung des Jahres” gefeiert. Damit konnte sie den Grundstein ihrer internationalen Karriere legen. Seitdem hat Tatjana sich einen ausgezeichneten Ruf als eine der führenden Cellistinnen unserer Zeit erarbeitet.
Sie konzertiert regelmäßig mit führenden Orchestern, darunter zum Beispiel das London Symphony Orchestra, das Orchestre Nationale de France, das Orchestre de Paris, die Münchner Philharmoniker, das Deutsche Symphonieorchester Berlin, das Tonhalle-Orchester Zürich, das Orchestre de la Suisse Romande, das Radio-Symphonieorchester Wien, das Bruckner Orchester Linz, das Concertgebouw Orkest Amsterdam, die Sankt Petersburger Philharmoniker, das Mariinsky Orchester, das Tschaikowsky Symphonie Orchester, die Russische Nationalphilharmonie, das New Japan Philharmonic und das Tokyo Philharmonic Orchestra. Dabei arbeitet sie mit vielen hervorragenden Dirigenten zusammen, darunter Claudio Abbado, Herbert Blomstedt, Yuri Temirkanov, Valery Gergiev, David Zinman, Daniele Gatti, Tugan Sokhiev, Vladimir Fedoseyev, Vladimir Spivakov, Yuri Bashmet, Dmitri Kitajenko, Michail Jurowski, Jiri Kout, Sakari Oramo, Christoph Eschenbach, Bertrand de Billy und Vassily Sinaisky.
Glanzvolle Höhepunkte ihrer Zusammenarbeit mit Mstislaw Rostropovitch waren eine Tournee durch Spanien, Konzerte in Deutschland und Holland sowie eine Konzertreihe anlässlich des Jubiläums von Dmitri Schostakowitsch in der Salle Pleyel und im Saal der Philharmonie Luxembourg mit dem Оrchestre de Paris im Oktober 2006. Im darauffolgenden Jahr spielte Tatjana Vassiljeva das Gedächtniskonzert für den großen Maestro.
Eine weitere enge Zusammenarbeit verband die Cellistin mit Krzysztof Penderecki. Tatjana Vassiljeva spielte die Weltpremiere der revidierten Version des Largo unter der Leitung des Komponisten und unternahm mit ihm 2009 eine Spanientournee. Tatjana Vassiljeva führte Pendereckis Concerto Grosso mehrmals auf, 2008 kam es zur Einspielung des zweiten Cellokonzerts.
Als Kammermusikerin tritt Tatjana Vassiljeva bei internationalen Festivals auf, unter anderem in Lockenhaus, Kronberg, Verbier, Colmar, auf Elba, bei den Rencontres de musique de chambre in Chambery und La Grange de Meslay und anlässlich der Folles Journées in Nantes, Warschau und Tokyo. Dabei musizierte sie unter anderem mit Viktor Tretiakov, Vladimir Spivakov, Yuri Bashmet, Gidon Kremer, Maxim Vengerov, Baiba Skride, Sayaka Shoji, Jean-Frédéric Neuburger, Plamena Mangova, Antoine Tamestit, Renaud und Gautier Capuçon und Paul Badura-Skoda. 2005 spielte sie mit Letzterem das gesamte Werk für Cello und Klavier von Beethoven. Mit den Solisten der Berliner Philharmoniker hat sie das Philharmonische Streichquintett gegründet, mit dem sie regelmäßig im Rahmen von Kammermusikkonzerten in Europa und Asien auftritt.
Ihre erste CD mit Kammermusik von Debussy, Dutilleux, Britten und Strawinsky erschien bei Naxos. Danach wurden weitere drei Aufnahmen bei Accord/Universal veröffentlicht. Ihre Solo-CD mit Werken zeitgenössischer Komponisten (Schtschedrin, Dutilleux, Saariaho, Schnittke, Stroppa und Penderecki) wurde mit dem „Diapason d’Or of the Year” ausgezeichnet. Es folgte eine weitere Einspielung mit Werken von Franck, Schubert und Stravinsky. Insbesondere mit ihrer Solo CD (Kodaly, Ysaye, Tchérepnine, Cassado) überwältigte sie die Musikkritiker, die Tatjana Vassiljeva als die „Neue Diva des Cellos” bezeichneten. Außerdem brachte sie im Februar 2009 bei MIRARE eine von der Kritik gefeierte CD mit den sechs Cellosuiten von Bach heraus. Ebenfalls bei MIRARE erschien im Januar 2010 ihre mit Jean-Frédéric Neuburger eingespielte CD mit den Sonaten für Cello und Klavier von Chopin und Alkan. Die Einspielung des zweiten Cellokonzerts von Penderecki, erschienen bei Naxos im September 2011 mit den Warschauer Philharmonikern unter Antoni Wit, gewann beim International Classical Music Awards 2012 den Preis in der Kategorie Contemporary Music. Mit dem Orchestre Royal de Chambre de Wallonie unter der Leitung von Augustin Dumay spielte sie das 1. & 2. Cellokonzert von Haydn, die bei Mirare 2013 erschienen.
Seit 2014 ist Tatjana Vassiljeva Erste Solo-Cellistin beim Concertgebouw Orkest Amsterdam.